Idealerweise bekommst du den noch angemeldet übergeben. Da ist es nicht so schlimm, wenn der „TÜV“ abgelaufen ist. Da fährst du zur Prüfstelle, lässt den prüfen und danach meldest du den auf dich an.
Um den nämlich auf dich anzumelden brauchst du aber in jedem Fall eine gültige Hauptuntersuchung. Einen abgemeldeten Anhänger ohne TÜV kriegst du also nur ganz schwer überführt, wenn du keine roten Nummern hast. Für ein Kurzzeitkennzeichen brauchst du auch eine gültige Hauptuntersuchung.
Für die Ummeldung brauchst du dasselbe wie beim Auto. Versicherungsbestätigung (eVB-Nummer), Papiere, Nachweis Hauptuntersuchung.
Nachtrag:
Wenn du nicht gerade einen HP500 oder so etwas willst, sondern einen „normalen“ 750 kg Anhänger, dann sind die neu meist nicht viel teurer, manchmal sogar gleich teuer wie ein Gebrauchter.